定积分的计算方法
单变量函数的积分
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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定积分的计算方法
1. 定积分的计算方法
1.1. Newton-Leibniz公式
1.2. 换元
1.3. 分部积分
1.4. 目录
Newton-Leibniz公式
[习题] 在上可积，且有原函数，
则
在上可积，在内有原函数，且存在，则
例 1. [习题]
解. 由Newton-Leibniz公式
例 2.
例 3.
14.
注意在上不是原函数
所以是的间断点，不连续，显然不可导。
在上连续
15.
先求原函数。令，则
注意到
换元
定理 1. (换元)
设在上连续，满足
在上有连续导数
，且
则有
不用换回到，而是直接在上积分
积分限也发生变化
证： 在上连续，则在上可积，且有原函数，即
由连续，则在上连续，可积，有原函数。
由
可知，是在上的一个原函数
换元法的条件中，这个条件可以放宽。
若在包含的更大的区间上连续，则即可。
例 4.
解. (看看问题出在哪里？) 取，有
中，令。注意：
时，有
时，有
因此，
例 5. 比较积分的大小
，
例 6. 判定积分的符号
例 7. 判定积分的符号
例 8. [习题] 以为周期的连续函数，则
1. ，
2.
3.
4.
以为周期，令，则
当在上连续，则
特别地，当连续，则有
例 9. [例4.5.4] 为正整数，
对称函数的积分
定理 2.
在上连续，则
若为奇函数，则
若为偶函数，则
1. 为奇函数，，则
2. 为偶函数，，则
例 10.
例 11.
例 12.
3.
由为奇函数，则
所以，有
4.
为奇函数，为偶函数
5.
所以为奇函数，为偶函数。
在上连续，若（称关于奇对称），则
在上连续，若（称关于偶对称），则
定理 3.
在上连续，且
，即关于偶对称；
，为常数
则有
证：
，则，为奇对称，则
即
例 13.
解. 令，可算得
1.
，则有
，则有
定理 4.
在上连续，且
；
，为常数
则有
证：
令，则
分部积分
定理 5. (分部积分)
设在上具有连续的一阶导数，则有
或
证：
是上连续函数，则可积且有原函数。
移项后即得证。
例 14. [例4.5.6]
例 15.
8.
10.
令，则，
令，有
递推公式
例 16. (例：4.5.7)
例 17. (例4.5.8)
例 18. (Wallis公式)
15.
16.
则有
17.
则有
即
式子两边表达式的差为
例 19. 连续，，求
例 20. 连续，存在，求
例 21. 计算
15. 用洛必达法则。
先求。
令
有
由洛必达法则，有
(洛必达法则不能用)
或
16. 洛必达法则，
不能用洛必达法则（为什么呢？）
18. 记，则
求型的积分
若，则
问题. 求
目录
1. 定积分的计算方法
1.1. Newton-Leibniz公式
1.2. 换元
1.3. 分部积分
1.4. 目录
本节读完
例 22. 谢谢
22.
例 23.
取，，
当在上连续，则有
例 24.
例 25.
取，。由前面的定理可证。
6.
令，，则
所以，
7.
，则
例 26. 在上连续，
，
求
例 27. 求，若
6.
(以为周期)
(一整周期)
(偶函数)
7.
函数以为周期，且为奇函数
分段
例 28. ， 求
绝对值
例 29.
13. 令，则
14.
例 30. 证明
17.
所以有
即
例 31. 以为周期的函数，且在上可积。则
例 32. 求
例 33. 连续，且，，求
19. ，，满足
由
有界。取极限即得结论
20.
21. 令，则
时，有
时，
例 34. 设在连续，且，则，满足
例 35. 在上连续，，则，满足
22. （把f(x)当作是函数的导函数）
显然可导，且
则，，满足
23.
取
则可导，且
例 36. 在上连续，，，则，满足
例 37. 在上有二阶连续函数，，证明： ，满足
24.
则。又
由知，。
这样，在与间，各有一个导数为的点。
25.
有二阶连续导数，做Taylor展开
则
连续，则有界。设，则
同样可得
由连续函数的介值性知，，满足
例 38. 在上连续，且，则有
26.
所以
移项后，即可得结论
例 39.
9.
9.
，令，